La espiral de Sacks

Seguimos con gaussianos y el estudio de las regularidades de los números primos.

Seguimos con la temática principal de esta semana. Hoy os traigo una variante de la espiral de Ulam: la espiral de Sacks.

La espiral de Sacks es una especie de variante de la espiral de Ulam descubierta por Robert Sacks en 1994. La idea es colocar todos los números naturales, comenzando desde el cero, sobre una espiral de Arquímedes. Se construye de la siguiente forma:

Colocamos el cero en el comienzo de la espiral. Después vamos colocando los números enteros positivos sobre la espiral a distancia proporcional haciendo que los cuadrados perfectos queden alineados hacia la derecha en la fila central. Algo así:

La idea ahora es resaltar los primos sobre los compuestos.

Como podéis ver la situación es parecida a la de la espiral de Ulam: una cierta disposición de los números naturales que no debería tener demasiada importancia en la que resaltamos los números primos.

Posiblemente a la larga se descubra que en realidad no la tiene, pero en este caso también aparecen situaciones cuanto menos curiosas. La siguiente imagen muestra la espiral de Sacks para 2026 puntos:

Comienzan a intuirse ciertas curvas como más primos que otras. Veamos una imagen con más puntos, en concreto con 46656:

Ahora se ven más claramente algunas curvas con una realmente destacable densidad de números primos, como la señalada con la flecha. No creo que pueda negarse que esto convierte a este tipo de construcciones en objetos dignos de estudio. Quién sabe si en algún momento pudieran servir para predecir la situación de números primos realmente grandes.

El estudio que puede realizarse de los detalles de esta construcción es bastante amplio. Por ejemplo, pueden reconocerse muchas curvas cuyos elementos tienen características comunes, como que todos tienen una descomposición en factores similar o que están relacionados con el mismo polinomio de segundo grado. Os recomiendo el primer enlace de las fuentes para profundizar sobre el tema.

Fuentes:

• Number Spiral: web de Robert Sacks con un estudio detallado de la espiral que lleva su nombre.
• The Sacks Number Spiral: artículo sobre la espiral de Sacks.